圆锥曲线综合题,证明线段中点,这样的思维该

高考数学,圆锥曲线综合题,证明线段中点,这样的思维该学一学。题目内容:已知抛物线C:y^2=2px过点P(1,1),过点(0, 1/2)作直线L与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点;(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点。

这道高考题有一定的挑战性,大家一定要细细体会本题是如何一步一步转化到使用韦达定理来解决问题的,理解并掌握这种转化的数学思想会对你的解题能力有非常大的提升。

和多数大题一样,第(1)问没什么可讲的。

根据题意画出图形有利于更直观地来思考问题。首先要学会分析题目中的重点,对于本题来说,直线L和抛物线相交是题意的核心,它也构成了整个图形的框架,所以它们的两个交点M和N是最重要的两个点,故先设M和N这两个点的坐标,之后其它点的坐标应该紧紧围绕这两个点的坐标来设定。因为A、B、M这三个点横坐标相同,所以要证A为线段BM的中点,只需证①式成立。

能想到把①式中的yA和yB用M和N的坐标来表示是解决本题的关键点,因为只要①式中只含有M和N的坐标,咱们就可以通过把直线L与抛物线方程联立来证明等式①成立。如下,①式经过等价变形得到②式,现在只需证明②式成立。

下面要做的是把②式中的y1和y2使用x1和x2代换,这样就可以借助韦达定理来证明等式成立。如下,经过一些列的等价转化,最终把问题等价转化为证明④式成立,明显剩下的任务就是借助韦达定理来证明。

典型的使用韦达定理的过程如下。

把⑤式代入④式左边的表达式即可证得等式④成立。

本题也可以使用下面的方法来解决,⑦式就是第一种方法中的④式,剩下的过程和方法一相同。

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